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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 gbpXT0 N  
yGyOlJ3  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. JT_g 6G>c  
3SE0n uj  
　　1、三角函数本质： z}~aZsD(#  
MB<Y0UP%  
　　三角函数的本质来源于定义 ;#7vWZk>q  
c7@8*P*t  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 "ri\rGC  
7p@ 3Ei  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 x\ IZc"P  
)|>0hHSY<  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： aRR53i  
Mp(BbR  
　　推导： _}aq4o  
"J^ ]Qt  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 jb*  
P&<)H D  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) o^aL;o)|Jp  
3lK%Tw  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) h2+aj0Bv ;  
G^rFvW  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 EdFIPj?  
y/+~(Dq%  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） pl:oeq  
W7$9|$0  
　　[1] 'c@5=!dx~  
0Hu FU  
　　两角和公式 Muo4[U-@4  
28p5)]e1  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB EgJk/& Y!T  
En FG~ X  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  l9d8fip  
fSjPpFclb:  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ,I!BH#}?  
%j8{  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB vnK4Z+Br/  
z@V`R M+  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) odU:qDI  
9=X!HG"q|  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) '] ___/  
"@ql!6kB  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  q5[#uqa  
?n2Z^g`Y%  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) .$,: rG  
QkUvYT x>3  
倍角公式 ZLv,$R<+  
/fZ<6  
　　Sin2A=2SinA•CosA 1R'k)^+c2  
6# X/EL7g  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 r/7 uGS*  
BfUR  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） D QNOb,o1  
~cHB  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 71CUNzr!  
PXv8Nq%J.E  
三倍角公式 dgDlf3n$k  
xusqLAy K*  
　　 efQFZ~{+  
zsClB6ez  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) x-']}.c ly  
o0b#"  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) _r zJ1pJ  
#,Xc-  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) :q< <0OgX  
t3W:2+>l  
三倍角公式推导 //[2^G7.&  
W4/hyl{&  
　　sin3a <lr B#&  
-mVnH(VVv  
　　=sin(2a+a) \-,/g  
x}$qX=w+  
　　=sin2acosa+cos2asina 6lx>:K}  
SFu  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina -g{t{, <F  
+)"x-=lR  
　　=3sina-4sin³a PeUr[O.!  
<J3|%<x  
　　cos3a FCYWI}>_w  
4sj<Y'0  
　　=cos(2a+a) 9<YIZ=ff  
I<s-;#\[uT  
　　=cos2acosa-sin2asina $T} (kP`   
6RuxQ"  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ^q+$p  
5Z#sc'  
　　=4cos³a-3cosa Sqc=C<9g  
a0jo,vK+  
　　sin3a=3sina-4sin³a B: VMR? @  
lp^3sp  
　　=4sina(3/4-sin²a) y+b<`}[t  
$zs>_<P-6  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] mKJgj><;7  
}lC;^4>'=  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Mt5We> R]  
aeZYiBs H  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) TD,%YH n  
;$+ntl8  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] k\> E*0  
X`mKz  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) FoD_8XQGd  
8Tj$;?  
　　cos3a=4cos³a-3cosa n_HrU3:AS4  
*lnZ(=d]  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Be]>q  
&%|]@'p  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] brx {B:s  
hxA  @6  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) r2 &) L  
s0&%2ag;*  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Z`!G MUn>  
!rVaT  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} zGT'`QbHC  
nm* 4qt]<Y  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) !3Kn7e '  
S519t-  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] V [!  '  
O; ]yJ(  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] R=|'tO  
;FnV &1  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) =9:_chw  
:OnXa;&vs  
　　上述两式相比可得 (Nbqk41  
-DAF6|o  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) L^SK<C-Z  
g*7}_2=W  
半角公式 M&]q'$  
d\W.kfJ  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); m5P9yR+  
-j {.4>_nd  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. j*6l{g/UT  
b'XEYP9  
和差化积 7;:diWE  
w >%5T  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] KCw9x{UjB"  
9z0)Q) :j'  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] xx?$A3  
A!6y9m  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Gq=psp&  
gdc Rs  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 3wtvVof  
x;?6'H3XH  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) :}}b{"y+\  
EF G@bw<]  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) gEsYR8?W  
HpXiMPg  
积化和差 i"A<vm'$H  
< <"q#?-]  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] c}Mq_vBFne  
_0z W3X  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] (RD 56  
 ,!1S|5  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ?1|gmc(  
spn/hrA?M  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Vs7SyYr%[  
d&[`_ &Ig  
诱导公式 ,:vFl/  
ya1R@+ Qb  
　　sin(-α) = -sinα `[A?{,wD@  
 ?)O-I  
　　cos(-α) = cosα V3{7drj?  
qV,qj8  
　　sin(π/2-α) = cosα e*-Dc n  
IPW +K3-  
　　cos(π/2-α) = sinα _mH=n-  
:Bls*;F  
　　sin(π/2+α) = cosα (.r8_ _<?  
6AXdr:  
　　cos(π/2+α) = -sinα U:IH.WKh  
=^W{x9  
　　sin(π-α) = sinα ^"Wb&.V  
?SU[_B{(  
　　cos(π-α) = -cosα XG2CRH\@  
NdFMz*+j  
　　sin(π+α) = -sinα au=q`n|  
X?+WH/g  
　　cos(π+α) = -cosα U c~)DU+  
m2 '4MFnu  
　　tanA= sinA/cosA ji:ei(  
52?qVtC  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα I:"BaVg ~  
PTJaZMFJ%  
　　tan（π/2－α）＝cotα {Q?u#T  
>)8"2GS7km  
　　tan（π－α）＝－tanα .#n[<  
K.&}]+>2  
　　tan（π＋α）＝tanα sH_B  
@Hi^a&i  
万能公式 `9RU,PmG  
Z6*`VD  
　　 m%^u,Ov  
{encnn>  
其它公式 =b8G]58A  
xg9y[* f  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 NE;[ /}  
B]a @_7i  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 c5j= 4*)7  
{{jJr P,  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Y ptM1~u  
wO7.TL5  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 (:5K/Dw P  
$9xMA|81  
　　对于任意非直角三角形,总有 A]^#=Xdi  
B/$Gt2  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC {*y>wT  
Yk60*`l9(]  
　　证: TpW5Q,.  
e d)rXGw  
　　A+B=π-C ;a9}}D@  
s8}s?J<  
　　tan(A+B)=tan(π-C) XmQ*7>"  
4=7Sqc^a\  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) i+EvMAw9  
]]e$TcfX  
　　整理可得 $VXR F*  
 }782E  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 9EnR  +  
0 Kz; X  
　　得证 :8X>vhZ  
P cU x  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 EdHA@1B`Y  
H&  {?PdJ  
其他非重点三角函数 +F9*xfE  
B>]yl5  
　　csc(a) = 1/sin(a) _H"Rw*u1  
-OMk0;w  
　　sec(a) = 1/cos(a) ~CYw%+PFx  
x5M5T!|FO  
　　 2O8:4 S=j  
y^Dlu!A]  
双曲函数 SVVe;&  
a_\a+Aie  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 l Qg'v-T8  
!\j&[5 >t  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 RI2k>t%  
2oYXN^n`:  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) oERXkne(<%  
3p>T|WhH,  
　　公式一： QT_&F+o's  
/ 0>7o(%  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： !&m*\YF f  
#0$BSF  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ]\uIy[z  
5Ey@%ub%  
　　cos（2kπ＋α）= cosα PlPtc5  
~2uLpq-#[  
　　tan（kπ＋α）= tanα P(H -ro h  
~3|\o??  
　　cot（kπ＋α）= cotα P`cM 9  
GB_h~RF}  
　　公式二： .-1VpK\:  
[1V2 S8tg  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： DGbS2_AU4?  
8iRTM:2g`  
　　sin（π＋α）= -sinα p`?gv$?  
0LSY`_.>  
　　cos（π＋α）= -cosα H|3v)uEV  
U~r%35-g  
　　tan（π＋α）= tanα uO|e^  
, Xwg/W3oD  
　　cot（π＋α）= cotα NFF<P,Zz  
!V]=*J}K  
　　公式三： elkM<F  
O.Ii37L  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sW&m{~;f  
a6|VO  
　　sin（-α）= -sinα H!96Mr.  
jR~*4c>iZe  
　　cos（-α）= cosα z N ]Pe>%  
)a0X$^oq  
　　tan（-α）= -tanα HW{Y-ok  
m+2jd UPf  
　　cot（-α）= -cotα qiv1t@ e  
Lw9]  
　　公式四： ?.;vzRmGG  
AK3y !}L  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ai0jT].deF  
k 0f yJ3  
　　sin（π-α）= sinα gN1(*k_j  
+hxE">c  
　　cos（π-α）= -cosα k?H^F%Gp,  
~NwyD\  
　　tan（π-α）= -tanα "v*"ops  
20UHYfzKb  
　　cot（π-α）= -cotα ,6Q)Pj7  
L@{%W0$?  
　　公式五：  ~~!d J  
T2W3 A  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Dy`G,CH  
o35tDm C  
　　sin（2π-α）= -sinα wFwG,< FH  
.0[,` x  
　　cos（2π-α）= cosα }R& XPbOa  
7 ^YhXsH  
　　tan（2π-α）= -tanα c6j.* =P  
jd_Z^qDPj  
　　cot（2π-α）= -cotα ws Wk0  
m'[q*#(S{L  
　　公式六： 7dG N8!^K  
4zi| z~  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 2Q<+To0s3  
:wQ<0 JYMU  
　　sin（π/2+α）= cosα yb356OgIe  
)MRk2Q{L  
　　cos（π/2+α）= -sinα Z ^!ekpy+  
DjLz#qf  
　　tan（π/2+α）= -cotα X*fA"E@  
4 4%T*$5z  
　　cot（π/2+α）= -tanα Kw1.x|kG  
(r'-iL6kN  
　　sin（π/2-α）= cosα B K%rjp7  
 :0t .  
　　cos（π/2-α）= sinα )?~8r'r6x  
O4*e>f:G  
　　tan（π/2-α）= cotα Rn2,-}8&C  
>8)9/Ev  
　　cot（π/2-α）= tanα u;u^z  
eX{~1dhl  
　　sin（3π/2+α）= -cosα t6.:i*pL`  
.L\+t-  
　　cos（3π/2+α）= sinα ;J2Gc}Z  
4iEq_0h  
　　tan（3π/2+α）= -cotα o$$ws[*bP  
pw>xpsE2:  
　　cot（3π/2+α）= -tanα mgd . ;F  
%F-!nxF  
　　sin（3π/2-α）= -cosα .d,?ujY  
dZd|UT#2\  
　　cos（3π/2-α）= -sinα T Ar\,l  
{M7h+8!=@  
　　tan（3π/2-α）= cotα /}zDf;F>;  
hE@&#r c\  
　　cot（3π/2-α）= tanα I]NN={+N  
6b#3?R )  
　　(以上k∈Z) `y2c^m  
AG18hYM  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ~~trWi"  
\FX\U8A3{  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ^= l`kY  
pj{2oVY+2t  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } \XdCeTw  
<ZvsF23BA@  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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