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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 09$BBbg  
=Qv%@TEt  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. VNRo#[zK  
'FB'M{fi  
　　1、三角函数本质： y^ zL]#Y@f  
KoXr*  
　　三角函数的本质来源于定义 3DG-GvA  
a orz  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 XDZ{V)9  
!U+/!ttO'B  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 *'H a+;i  
U u6\ey#&  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： w49B&kk`V`  
fjq>cu8j,  
　　推导： +)$^>Tyg  
^+`,UDU  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ,?&mvg  
Mxz`|:i/  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) k3Kj&>`  
 JoQl?i  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 'REdJ> w\1  
3[3Fk@  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 YoWfI:D  
Jj&"T{{  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） >`]&x}W&  
X&j'2|63/  
　　[1] My*I9g  
Zn<:ctA7  
　　两角和公式 (6z.Hn  
|#'u(np7B  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB DEo@>8P45  
6XFs#:_   
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  RJ})fLy[  
5v%Ev M;  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ~[\Io %  
K2=6tNEM  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB $|n*j4)  
<#TE5J:  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) )^:D@Q  
JE&HR_0:@  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) (!ab5#k  
1]z:v y'  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  U/^P>  
? CH<6O s  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) %Q  'p0,  
j\k7Zsx=g  
倍角公式 }]0^9(2?  
: !%%bS  
　　Sin2A=2SinA•CosA a~d]$  
nF2Q [kJ  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 RX/qrXbr  
I2>%0\Um  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 9v)U$>Dl-  
 4?2b)mB  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） YrJUt  
91`rnL  
三倍角公式 |5o:aGKpo+  
vptM2^!^  
　　 y^bP[1tT  
4(1n@WW3  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) >fxV&1Z.  
_>8>+?l_  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) pq?n$lH0  
w^.l)?s}Q  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) @&Vmt(7  
m4p5_"j'j  
三倍角公式推导 ])_Ab#\3  
# puU%1o/  
　　sin3a d!fi=qujc  
tc }8x  
　　=sin(2a+a) F"d}H`tgO  
!F7)?<7  
　　=sin2acosa+cos2asina RYxbB Q  
*b'q, cznP  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina v5(Pp-)&  
+7$]-?;  
　　=3sina-4sin³a X!!qU^*7  
z[\8H/?F  
　　cos3a S'*M/l]"w  
Wp -}T}vb  
　　=cos(2a+a) .>?WMm'4  
5[ L-UG  
　　=cos2acosa-sin2asina M{&fqb(  
IJAxA#H  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa O2'`UPzD_  
<S:e~ _Xi  
　　=4cos³a-3cosa /9^R)B  
2v/zAGF<~  
　　sin3a=3sina-4sin³a ta++ZV|d  
}k=&5  
　　=4sina(3/4-sin²a) J;lL.i3  
xTi3G F  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] $QuUJGA.G  
_ G6gQZ*  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) T>ZxT$:L#  
[w+~LZM  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) %YEi-J  
V3Vi'}J  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] p!k[8`"  
}*BDi D  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) rugI{=cm  
'h JI>G@  
　　cos3a=4cos³a-3cosa x0]p 0$[  
Rx=0\b@W  
　　=4cosa(cos²a-3/4) dUnPx+`*)  
.6:Qs={x)  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] n~=qj~+  
v`ZsF&3  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 2~" xmyO  
QCT (YS  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) }fE u\/4/  
>s"fE7u  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} yVMO}|>@X  
j.k5l3sY  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) s[<&Ff}  
A fxO&3#z7  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] FwS.ARq]d_  
w9JhV44  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ? 0A~2  
G,Z5*/  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) !_z:&Dx>  
H8tOeo  
　　上述两式相比可得 bz>GV* s  
mF >s,{ae  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ?Geg#a-[  
~ Dn<^;z@  
半角公式 | Z,qVny5  
6*y'.+;  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); }T%4PO~*  
p jj[%x  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. a"*an09  
Y1/J}l;t  
和差化积 jr]b]B1  
|-oD-RG  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] >pBk=40  
 66x qMV  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ^3p\%Ls>x  
]f}?Nptz  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] iV\OG#v0)  
;3DXm=  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] P{m{(lGx  
#H])4&9 4  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) M{{"  
cCuPzdh4  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) mD JiET3;  
jzSUXLAj  
积化和差 $fS<]Y)Nn  
8uPyN2  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] d=t>3&R  
vT[LH>u  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] '"$@+-  
&gh7u  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 0;V.W.?R}  
0D2^[/@Ie  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] p%jrz]  
_;[:F?e?QT  
诱导公式 kz9eoX%z^  
t3[+8dTc]  
　　sin(-α) = -sinα .<>;m  
s*cL) t  
　　cos(-α) = cosα Le#voaF7  
25BrPi#q  
　　sin(π/2-α) = cosα 3>yx a1j  
*wi=3CgDI  
　　cos(π/2-α) = sinα _=LvFrjx  
853X >  
　　sin(π/2+α) = cosα V? Alzq  
Bd>IW[`  
　　cos(π/2+α) = -sinα a#EM@  
]p^ U;EF  
　　sin(π-α) = sinα bXO ~c  
2JgyA-d  
　　cos(π-α) = -cosα 7d+|^  
}nH#ckZp  
　　sin(π+α) = -sinα R_0urni-  
Wv\7?gO=  
　　cos(π+α) = -cosα ,|3YmV  
t}/F.lz<  
　　tanA= sinA/cosA 9SIu l  
!Ol\uK_\[?  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ziOxdC$j7+  
XABLQ,\|  
　　tan（π/2－α）＝cotα 4c"t>pk'  
9@lr $x=h  
　　tan（π－α）＝－tanα =&j vKm_  
}%jqgNo(  
　　tan（π＋α）＝tanα fmCkP)Ykp  
7VC R >yW  
万能公式 (D2X}]J  
X$|l>YA  
　　 X"oBuc  
 <ZPC?5s  
其它公式 -98q<"1+W  
=]t [w^L~  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 +e3h>uDiG`  
YGIMejmr  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 Ts<7xweR  
1[HwqJwMR  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 /4H1V`by  
WSVJy&jfB  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 MhNX.M(,  
W`izrp"XJ  
　　对于任意非直角三角形,总有 7@jX&d0t  
,Peat0  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC @;Dp65Y[  
" D[ '  
　　证: ,CJ]?B[  
Q~=)[`Ahy  
　　A+B=π-C "a9V8l!Qe  
P|k3\w  
　　tan(A+B)=tan(π-C) !QwJT$=  
g}!R9%Au^J  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) n`^[gv=  
q$\V[Aam  
　　整理可得 C1=.d3h  
N&-j:k4  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ;U2lo2_R5  
n~*2!Ti@  
　　得证 =H%}'4 g(  
_UQ3GMfu9  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 $t5=<z  
#@w#/S@  
其他非重点三角函数 \SUmNC  
akLM~:![  
　　csc(a) = 1/sin(a) yk}wuM  
)&t<  
　　sec(a) = 1/cos(a) k&E"BW+K  
=#3b(_o  
　　 bha]);F uG  
Of__8Yp  
双曲函数  5g4=o  
qE<GwE  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 v*u` ~  
tGJXs=DV  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 0FJX  
d_il*?a  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) :@Q&(C/S  
&_.Jto/K]  
　　公式一： -~FT`]Im  
\\H'11N  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Jkik +fXsO  
cU2HTYl2  
　　sin（2kπ＋α）= sinα L@.IOdx  
i_&e#'p&e  
　　cos（2kπ＋α）= cosα k&L.G+:"  
9`V;E'gA  
　　tan（kπ＋α）= tanα aS 8gu*U  
_8XR9}dhH  
　　cot（kπ＋α）= cotα g4H-mj  
y;RQg@bvOe  
　　公式二： v1-Ggn  
K]<&NQXZ  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ]mrS#N7  
F[gk:\  
　　sin（π＋α）= -sinα lE;m]e7l  
/:  M^  
　　cos（π＋α）= -cosα |&BTuo Vw  
lkZ]\%y  
　　tan（π＋α）= tanα PD._BPzD  
CLMtWuh/m  
　　cot（π＋α）= cotα ;]OY,b %@  
R"JD=PG  
　　公式三： oYNLIO>j  
m !zshMZ  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ?r-Iv  
xHxp+  
　　sin（-α）= -sinα MI )q#]+Q/  
32$ dWf{%  
　　cos（-α）= cosα B xEOWb[  
WsM&i&Y$o  
　　tan（-α）= -tanα [y?`490`s  
Wc8}!<h0  
　　cot（-α）= -cotα ws?y-'$  
:J.qi;M|  
　　公式四： ?x BTjpS  
hSoYY|pa  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Lo FK|F6N  
!j`v"pM  
　　sin（π-α）= sinα EzkH& s  
}nna @aX  
　　cos（π-α）= -cosα x;o 8 6{  
=fH4 e@  
　　tan（π-α）= -tanα |K((sSbk  
eRbO)v  
　　cot（π-α）= -cotα Y7/`ox~  
C  TnG  
　　公式五： QVJ2Z3]  
{$kMXL  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： H*0`w8i&!  
8A]Sj 2W'  
　　sin（2π-α）= -sinα ]8 WVET,-  
[@%AkHM1  
　　cos（2π-α）= cosα 5:Nu &F  
@W^SG_VN  
　　tan（2π-α）= -tanα >NXVU2C  
 1LC#  
　　cot（2π-α）= -cotα f$H:|aH0  
ZdJVYNF}  
　　公式六： /o L}`N+c  
I#zc[9ws@  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 2U-.QDw@!  
?^cX:  
　　sin（π/2+α）= cosα :mS R#MgvB  
MN lr8bnM  
　　cos（π/2+α）= -sinα U<HQCvC'Qp  
hXQ--$p  
　　tan（π/2+α）= -cotα !g#mo_]  
x`qQ;eAB  
　　cot（π/2+α）= -tanα oh^J0=x,  
g!Aumh8]w  
　　sin（π/2-α）= cosα HRws"Z-  
P'Cyn  
　　cos（π/2-α）= sinα 43=jGh5  
*Z,<mMBg  
　　tan（π/2-α）= cotα ?mTk$5_G  
g8dt1Whe  
　　cot（π/2-α）= tanα  UBxJYc  
pxHT7 K9  
　　sin（3π/2+α）= -cosα !LvoM1 3\  
S7|&9 `!  
　　cos（3π/2+α）= sinα A'P.jpd  
q D{QaV?P  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ?CL 94} r  
6(l=wRyB6  
　　cot（3π/2+α）= -tanα y=!IpSy  
D'V(fyyqm  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ~:{ 0@#f  
_e`=g`I  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 2adMPgJ>I  
&2mMF]r  
　　tan（3π/2-α）= cotα $zxFk\".  
k,s|Z  
　　cot（3π/2-α）= tanα c*ch,3  
GZ^_0I  
　　(以上k∈Z) v #\1X|/  
i7zUVJ29`  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ;UL},]mW  
r*5RRAs-Zd  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = XIi $ qS  
ghjQbu_V  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } *GK@jgO  
J0=(N f  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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